一、问题提出

Markowitz于1952年提出的均值—方差模型，在他的工作之后，很多人也做了关于投资组合模型的研究。如Markowitz， H.M等（1993）用半方差度量风险，因为实际收益高于平均收益时的方差不是风险，所以用半方差更合理；为了减少高损失的风险，Duffie和Pan（1997)引入了用Value-at-risk（VaR）度量风险，在VaR后，Rockafellar和Uryasev（2000）首次利用最小化CVaR研究了投资组合问题。近年来，Tanaka等（2000），研究了在模糊（Fuzzy）理论基础上的投资组合问题。在区间值收益率的方面，M.Ida(2003)，S.Giove，S.Funemi和C.Nardelli（2006），Jinping Zhang和Shoumei Li（2009）进行了研究。

上述研究的不足在于在收益率的选取上多数为离散型单变量数据。由于市场具有随机性，一个数据不能充分地反映出一天的波动情况，本文拟利用偏差（区间之间的距离用Hausdorff 距离）作为风险的度量方式，通过模型设计和上市公司数据模拟来确定投资组合。

二、预备知识和记号

（一）经典的Markowitz模型

（二）区间之间的运算

首先介绍区间之间的线性运算，令R表示全体实数。

定义1：设闭区间A=[a，a]，B=[b，b]，其中a，a，b，b∈R，则加法定义为：

A B=[a b，a b]

定义数乘为：

λ∈R，λ·A[λa，λa]，若λ?莛0[λa，λa]，若λ<0

接下来定义区间之间的距离，记（X，□·□X）是一Banach空间，P0（X）为X的所有非空子集的全体，下面介绍P0（X）中的Hausdorff距离。

进一步，定义区间[a，a]和[b，b]之间的Hausdorff距离为区间[a，a]和[b，b]的偏差。

三、区间值收益率的投资组合模型及求解

利用历史数据推断股票增长率的最小值和最大值，构成股票增长率区间，这里讨论均值—偏差模型投资组合，并进行数据模拟。

（一）模型介绍

（二）求解模型

利用拉格朗日方法对上述问题求解，简略过程如下：

1.构造拉格朗日函数

则上述方程组转化为：A?滋=B。显然A可逆，记其逆矩阵为A-1，则有?滋=A-1B·?棕为?滋的前n项，即得最优解?棕。

四、数据模拟

在金融界网（www.jrj.com）股票数据中选取三支股票从1月20日到3月10日的数据，由收盘值计算得到的单点平均收益率作为经典Markowitz模型中的收益率值。（数据见表1）

利用经典的Markowitz模型和本文的均值—偏差模型对上述三支股票的收益区间和投资组合比例（表2）进行计算