一、随机波动率模型概述
　　（一） Stochastic Volatility Model的定义
　　(1)
　　(2)
　　(3)
　　(4)
　　其中为参数。从定义可以看到，SV模型是一个非线性的模型。其作用在于检验是否有随机变化的趋势。显然，如果，则。
　　如果我们做变换，则，即是一个AR(1)过程。
　　所以，其实是一个AR(1)过程与维纳过程的组合，且2者之间是相互独立的。其中的参数部分都在中。
　　Andersen,T.G 和 B.E.Sorensen 在其1996年的文章中，针对SV 模型，推导出了使用GMM方法估计的如下24个矩条件。
　　
　　即:
　　,其中，
　　所以可以通过来估计
　　（二）随机波动率模型的模拟及其估计
　　1、我们按照SV模型，产生随机数，给定初始参数为：
　　，产生的序列长度为3000 。如下图：
　　
　　2、参数估计
　　选择计算的方法为迭代，初始值给定为(0, 0.5, 0.5)。其结果为J-test的自由度为21，J-test= 10.50719，P-value= 0.97155，其余参数的估计值如下表：
　　
　　可以看到，估计值与真实值相差很小，J-test很小，P-value达到0.97155，不能拒绝原假设，再看估计出的三个参数，方差都很小，尤其是Pr(>|t|)显著的小，说明应用GMM方法对模型进行拟合的效果不错。
　　注：因为第一步产生数据的随机性，所以，即使用同样的种子所产生的随机数，估计后得到的也是不一样的。
　　
　　 二、上证综合指数实证分析
　　下面，我们使用上海证�交易所给出的上证综合指数（No.00001）来分析。时间从2000年1月4日开始，至2009年12月31日期间的每日开盘时的指数数据，一共2415天。如下图所示，其中蓝色横线为6000点，红色横线为3000点。
　　
　　 （一）原始序列
　　使用GMM估计，其结果J-test的自由度为21，J-test= 1.3232e+32，P-value= 0.0000e+00，其余参数的估计值如下表：
　　
　　其模型拟合的P-value 完全为0，关于3个参数的Std. Error=Inf，Pr(>|t|)=1，所以，我们不能考虑使用SV模型来拟合该数据。换句话说，该数据并不符合Stochastic Volatility Model。
　　（二）收益率序列
　　设表示该上证综合指数（No.00001），我们对做变换，然后再做差分：
　　
　　其中表示收益率，则。的图形如下所示：
　　
　　我们对使用GMM方法进行检验是否符合Stochastic Volatility Model，其结果如下：
　　J-test的自由度为21，J-test=29.835963，P-value= 0.095334，其余参数的估计值如下表：
　　
　　从表(5)中可以看到，用Stochastic Volatility Model拟合效果不错。除P-value较小以外，三个参数的Pr(>|t|)都很接近0。所以，在下，我们不能拒绝原假设，可以认为大致符合Stochastic Volatility Model。
　　
　　 三、结论部分
　　SV模型是一种随机波动模型，满足模型的数据应该带有强烈的随机性，而上证综合指数（No.00001）其带有强烈的的随时间变化的趋势，通过程序的结果以及一系列后续检验可以说明，不能直接使用Stochastic Volatility Model来拟合上证综合指数（No.00001）。
　　而上证综合指数（No.00001）的收益率，可以较好的符合Stochastic Volatility Model。这个应该和股市每天限定涨跌幅度的因素是分不开的。
　　
　　 四、改进的方向
　　我认为可以进一步考虑使用GARCH 模型进行拟合该上证综合指数（No.00001）数据。此外，在上面的对上证综合指数（No.00001）程序计算中，我们选用的权重矩阵W为，这不是一种非常有效的估计， 在gmm函数中，默认选择迭代的W为更优的，但使用该上证综合指数（No.00001）的数据计算出来的是奇异的，其数量级大概在，无法求逆，所以无法使用矩阵作为代替。所以，要解决估计的困难问题，在于找到合适的的相合估计矩阵W。