【摘要】 稀缺项目(如违法发票)指的是在审计总体中占很小比例的项目。如果抽取的样本含稀缺项目数为零,传统方法无法估计其在审计总体中的数目及其金额。超几何分布法能很好地解决这个问题。
　　【关键词】 抽样审计;超几何分布;审计总体;稀缺项目;估计
　　
　　一、引言
　　
　　在审计总体由合法发票和违法发票(稀缺项目,后同)构成的情况下,为节约审计时间和审计成本,审计员通常根据随机抽取的发票样本来估计审计总体违法发票总数目(M)及其金额(在此称为参数)。如果估计的违法发票数目或金额在可允许范围内,就可以发表无保留意见的审计报告;反之,发表其他意见的审计报告。由于违法发票在审计总体中比率较小,这样抽取的发票样本可能一张违法发票也没有,这就给参数估计带来了很大的困难。
　　美国数理统计学家Cochran(1977)在《抽样技术》一书给出的样本比率估计法适合于抽取的样本包括违法发票数目与零有一定差异的情况。Liu,Batcher和Rotz(2001)提出的超几何分布估计法能比较好地解决即使在发票样本中违法发票数目为零的情况下审计总体违法发票数目及其金额的估计问题。
　　为叙述方便,假设违法发票和合法发票在审计总体中随机均匀分布。用xi表示第i张发票的账面额(已知),yi为其违法额(未知)。Roberts(1978)给出了第i张发票账面额与违法额的关系式
　　
　　二、概率分布模型
　　
　　(一)简单随机抽样的概率分布模型
　　假设审计总体共有发票N张,其中M张是违法发票(未知),(N-M) 张是合法发票。从中抽取容量为n的样本,经过识别发现其中有违法发票a张。在M已知的情况下,违法发票数目服从超几何分布,其概率为
　　
　　(二)分层随机抽样的概率分布模型
　　为了在分层随机抽样下使用上述概率模型,需要确定M=M1+M2的概率分布,其中M1和M2分别表示审计总体第一、第二层违法发票数目。用a1和 a2分别表示从第一、第二层抽取的容量分别为n1和n2的样本中违法发票数目。由于样本是从各层独立抽取的,所以违法发票总数M=M1+M2在第一层样本违法发票数a1和第二层样本违法发票数a2既定下的条件概率为
　　
　　三、估计量
　　
　　(一)Cochran(1977)估计量
　　
　　用公式(4)、(5)、(6)、(7)、(8)估计简单或分层随机下审计总体违法发票金额。
　　
　　四、模拟研究的例子
　　
　　下面是LanLiu,Mary Batcher和Wendy Rotz(2001)在“Application of hypergeometric distribution in a special Case of rare events”中的一个审计总体Ω的例子。Ω的情况见表1。
　　
　　五、结论
　　
　　在审计总体存在稀少项目的情况下,从中抽取的简单或分层随机样本包含的稀少项目的数目可能很少甚至为零。在这种情况下,传统的估计方法无法为审计总体稀少项目的估计提供适当的估计值。上面所描述的超几何分布法是一个较为理想的解决这个问题的方法,尤其是需要保守的估计值的时候。●
　　
　　【参考文献】
　　[1] Bain,L.J and Engelhardt,M,1991,Introduction to Probability and Mathematical statistics.Boston:Pws-KENT Publishing Company.
　　[2] Cochran, W. G.,1977,Sampling Technique, New York: John Wiley and Sons.
　　[3] Roberts,D.M.,1978,StatisticalAuditing, New York:American Institute of Certified Public Accountants,INC.
　　[4] Wilburn,A.J.,1984,Practical Statistical Sampling for Auditors,New York and Basel:Marcel Deffer,Inc.